三分损益法

　　今天的人们都知道，乐音的音高，是由发声乐器震动的频率所决定的。如果一个声音的震动频率为a ；另一个声音的震动频率是2a 的话，那么，后一个声音就是前一个声音的“纯八度”高音。同理，如果一个声音的频率为a ，另一个声音的频率为a的一半（a/2），那么，后一个声音就是前一个声音的“纯八度”低音。

　　中国古人虽然不懂得震动发音的物理学理论，但是他们却总结出了跟现代发声理论完全一致的道理。一件圆径固定，长度固定的发声器所发出的声音是一个定值，如果另一件圆径相同发声器的长度是这件发声器长度的一半的话，那么，另一件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的高音。同理，如果另一件发声器的长度是原来发声器长度的二倍，那么，另一件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的低音。

　　中国古人所使用的音阶是“五声音阶”，即“宫商角徵羽”五个音。其中，宫相当于西洋音阶的1（dou），商相当于2（re），角相当于3（mi），徵相当于5（sou），羽相当于6（la）。当然，除了这五个基本音阶之外，后来也出现“变征”等其他的几个音阶，但这已经是秦汉以后的事情了。

　　在中国古代的音乐理论中，“宫商角徵羽”这五个音阶，相互之间的关系是怎样的呢？换言之，它们又都是怎样先后产生的呢？中国古代关于这个内容的律学理论，叫做“三分损益法”。“三分损益法”认为，“宫”是基本音，有了基本音“宫”之后，经过几次的“三分损益”，其它的四个音阶也就产生了。最迟到春秋中期，古代音乐理论“三分损益法”就已经形成了。在《国语》中，在《管子·地员篇》里，在《吕氏春秋·音律篇》中，分别记述了“三分损益法”的一些内容。《史记·律书》和《汉书·律历志》中的理论，基本上是抄录《管子》、《吕氏春秋》以及《淮南子》中的相关内容。

　　“三分损益法”的基本原理是：

　　以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（1）；然后，将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音，就是“宫”的纯五度高音——徵（5）；将徵管均分成三份，再加上一份，即徵管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了徵的纯四度低音——商（2）；商管保留三分之二，“三分损一”，于是得出商的纯五度高音——羽（6）；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角管，角管发出羽的纯四度低音——角（3）。

　　这样，在有了基本音“宫”之后，经过两次“三分损一”和两次“三分益一”，“宫、商、角、徵、羽”五个音阶就生成了。宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，由于是“五五相生”，因此，乐律家们说起五个音阶来，他们不说“宫、商、角、徵、羽”，而是说成“宫、徵、商、羽、角”。

　　古人使用“三分损益法”，在生成“宫、徵、商、羽、角”五个音阶之后，并没有停止下来，而是继续“损益”下去。“三分损一”，“三分益一”……在连续进行了各六次之后，共得出十二个音，就是我们现在音乐上所使用的一个八度之内的十二个半音。中国古人将这十二个半音音阶称为“十二律”，它们的名称分别是：

　　黄钟（C），林钟（G），太簇（D），南吕（A），姑冼（E），应钟（B），蕤宾（＃F），大吕（＃C），夷则（#G），夹钟（#D），无射（#A），仲吕（F）。

　　对这十二律再加以区分，分出了六个阳律和六个阴律，六个阳律称为“律”，六个阴律称为“吕”。黄钟与“三分益一”产生的为阳，六阳律即“律 ”包括“黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、亡射”；用“三分损一法”产生的六阴律为“吕”，“六吕”包括“林钟、南吕、应钟、大吕、夹钟、中吕”。