宫商角徵羽和三分损益法

　　曾侯乙编钟铭文使用中国汉字为音阶各级音命名，其中有五个基本音级被记为“宫”、“商”、“角”、“徵〔zhǐ止〕”、“羽”。用现代音阶唱名来对应，宫为“哆(do)”，商为“唻(re)”，角为“咪(mi)”，徵为“嗦(sol)”，羽为“拉(la)”。这五个音依高低顺序排列在一起，就是古往今来中国音乐常用的一种五声音阶，用现代简谱表示，就是1、2、3、5、6。

　　先秦时代，五声音阶是各类音乐的基本音阶，五声音级是各种音阶的基本音级。有时，为表达特殊感情，歌手或乐手也在五声音级基础上加入某些变化音级，从而形成六声或七声音阶。《战国策》中有关于荆轲刺秦王行前歌唱出现“变徵之声”的记载；刘向《新序》中有关于某人在郢中(今湖北江陵)歌唱《阳春白雪》时其调出现“引商刻羽，杂以流徵”的记载，它们叙述的就是在基本五声音级之外又唱出变化音级的情况。先秦文献中，五声音级称为“正声”，变化音级称为“变”。变化音级常用的是加入角与徵之间的“变徵”和加入羽与宫之间的“变宫”，变徵和变宫合称“二变”。二变与五声音级排列在一起就构成七声音阶：

　　五声音阶在乐律上的确定计算，在中国约产生于公元前3世纪之前。记载春秋时代政治家管仲(？—公元前645年)言行的先秦文献《管子》，在《地员篇》中就具体明确地记述了五声音阶的五个音级产生的计算方法：

　　“凡将起五音，先主一而三之，四开以合九九……以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以是生商。有三分而复于其所，以是生羽。有三分而去其乘，以是生角。”

　　这段文字逐句作算式可得五种长度不同的弦，每弦发一音，就得五声：

　　(1)“先主一而三之，四开以合九九……以成宫。”算式为：(1×3)4=9×9=81，所得弦长相对比例数81，定为宫音，相对音高唱名为do。

　　(2)“三分而益之以一，为百有八，为徵。”算式为：81×4/3=108，即增加前弦长比例数81的1/3，得弦长比例数108，发音为徵，相对音高唱名为sol。

　　(3)“不无有三分而去其乘，适足以是生商。”算式为：108×2/3=72，即减少前弦长比例数108的1/3，得弦长比例数72，发音为商，相对音高唱名为re。

　　(4)“有三分而复于其所，以是生羽。”算式为：72×4/3=96，即再增加前弦长比例数72的1/3，得弦长比例数96，发音为羽，相对音高唱名为la。

　　(5)“有三分而去其乘，以是生角。”算式为：96×2/3=64，即减少前弦长比例数96的1/3，得弦长比例数64，发音为角，相对音高唱名为mi。

　　这五个算式和所得五声，从低音向高音排列如下表：
　

计算顺序	(2)	(4)	(1)	(3)	(5)
简谱(相对音高)	5	6	1	2	3
阶名	徵	羽	宫	商	角
弦长比例数	108	96	81	72	64

　　这种产生五声音阶的计算方法，古称“三分损益法”。“损”就是减；“益”就是增。在生出五声之后，如果再继续“损”、“益”下去，就可能在弦上产生全部的12个音。《吕氏春秋·音律篇》就记载有这种产生12个音的生律法。

　　“三分损益法”，是迄今所知中国古代最早制定的科学产生音律的方法。